Etude et développement de schémas numériques préservant les symétries

Les méthodes numériques présentées respectent un des principes fondamentaux de la physique, à savoir l’invariance du modèle sous les transformations du repère, qui se caractérise par le fait que le phénomène est le même lorsqu’on modifie le point de vue sous lequel il est observé. Ces méthodes utilisent des techniques de symétrie de Lie. En mécanique, il s’agit de transformations Galiléennes, de rotations, de transformations projectives ou de translations. Ces techniques de symétrie sont des outils incontournables en modélisation mathématique. Elles permettent le calcul de solutions spécifiques, appelées solutions auto-similaires, et la construction de modèles invariants. De plus, lorsque le système dérive d’un Lagrangien, le théorème de Noether établit que toute symétrie de l’action du système est liée à une loi de conservation. Après une introduction à la notion de symétrie, des expériences numériques sont réalisées montrant que les méthodes numériques communément utilisées ne préservent pas les symétries, entrainant manque de robustesse et instabilités. Ensuite, des méthodes préservant les symétries sont construites et mises en œuvre pour des problèmes en mécanique.