Le théorème de Lebesgue sur la dérivabilité des fonctions à variation bornée

Le théorème de Lebesgue sur la dérivabilité des fonctions à variation bornée est l’un des plus grands de la théorie de la mesure. Car la plupart des fonctions qu’on utilise en analyse sont monotones ou strictement monotones ce qui constitue un cas particulier des fonctions à variation bornée. Ce théorème de Lebesgue s’énonce de la façon suivante: « Toute fonction à variation bornée d’un intervalle de [a,b] dans R est dérivable presque partout. Dans l’utilisation quotidienne de ce théorème souvent une seule démarche de démonstration est proposée. L’objectif de ce travail était essentiellement de présenter d’autres démonstrations de mathématiciens méconnues du grand public. Ainsi, outre la démonstration classique, les démonstrations respectives de Riesz et de Botsko y sont présentées et aussi une référence à celle de D. Austin. L’exposé commence par l’histoire des mathématiques qui montre l’évolution et le développement de la théorie de la mesure; des difficultés rencontrées et l’élaboration par Lebesgue d’un outil plus puissant qui va permettre d’intégrer presque tous types de fonctions. Principalement, les universitaires pourraient trouver un intérêt particulier dans cet ouvrage.