Deux Décompositions des Permutations en Oiseaux

La combinatoire est une des branches Mathématiques qui étudie les collections d’objets de taille finie. Les objets formels qu’on étudie récemment sont toujours les modèles d’objets réels, même si la modélisation transparaît de façon plus ou moins immédiate. Certains buts de la combinatoire sont de caractériser les objets étudiés, d’en donner des propriétés, de compter pour tout n le nombre d’objets de taille n, et de les engendrer aléatoirement. Très souvent, on utilise comme objets d’études privilégiés les permutations de l’ensemble [n] = {1, 2, ..., n}. Ces permutations munies du produit de composition d’applications, au sens algébrique du terme, forment un groupe. Ce groupe est appelé "groupe symétrique" sur l’ensemble [n], noté Sn. Dans ce groupe, on sait que chaque permutation peut être décomposée de manière unique en un produit de cycles disjoints. Ce livre a été inspiré d’un article intitulé "Two oiseau decompositions of permutations and their application to Eulerian calculus" [1] dans lequel les auteurs ont montré que toute permutation admet deux décompositions appelées "décompositions en oiseaux".