Les Problèmes de Préservation

Dans ce travail, nous nous intéressons à quelques problèmes de préservation non linéaire. Étant donné X un espace de Banach complexe, dans le chapitre 3, nous étu- dions les applications surjectives qui préservent le cœur analytique du produit de Jordan et du produit de Lie d’opérateurs. Plus précisément, nous déterminons la forme des applications surjectives φ sur B(X) satisfaisant K(φ(T)φ(S) + φ(S)φ(T)) = K(TS + ST) pour tous T, S ∈ B(X). De la même manière, nous caractérisons les applications surjectives φ sur B(X) qui vérifient K(φ(T)φ(S) − φ(S)φ(T)) = K(TS − ST) pour tous T, S ∈ B(X). Ainsi que H0(φ(T)φ(S) − φ(S)φ(T)) = H0(TS − ST) pour tous T, S ∈ B(X). Où K(T) et H0(T) sont respectivement le coeur analytique et la partie quasi- nilpotente de l’opérateur T. Dans le chapitre 4, nous étudions des applications surjectives φ sur B(X) satisfaisant F(φ(T)φ(S) + φ(S)φ(T)) = F(TS + ST) pour tous T, S ∈ B(X), où F(T) est l’ensemble des points fixes d’un opérateur T.