Quelques aspects de la théorie du point fixe pour les semi-groupes

L’objectif de ce travail est l’étude du problème de l'existence du point fixe commun pour certains semi-groupes (sg). Notre travail se compose de trois parties. Dans la première partie, nous étudions le problème de l'existence du point fixe commun pour un sg Lipschitzien défini sur un espace de Hilbert, puis sur un espace métrique à structure normale uniforme. Dans le cas Hilbertien, nous cherchons un lien existant entre les constantes de Lipschitz d'applications de sg et la constante de Lifschitz de l'espace de Hilbert. Dans l'autre cas, nous donnons le lien existant entre les constantes de Lipschitz des applications de sg et le coefficient de Bynum de l'espace métrique considéré. Dans la deuxième partie, nous introduisons la notion d'application pré-contractive, puis nous établissons que tout semi-groupe engendré par une application pré-contractive définie sur un espace métrique complet a un point fixe commun unique et que la suite itérative de Picard associée à l'application génératrice converge vers ce point. Dans la dernière partie, nous utilisons la notion de sg contractif dans les espaces métriques probabilisés pour établir l'existence du point fixe commun pour ce type de sg.