Histoire de la normalisation d'une famille de courbes algébriques

L'idée directrice de cette thèse est d'expliciter un résultat de génération quadratique de l'idéal du plongement canonique d'une famille de courbes fournie par deux entiers a,b <= 3 premiers entre eux (les Cab-courbes). Le travail réalisé comprend d'une part l'étude de la détermination explicite de l'idéal canonique de la courbe considérée (noté I) et d'autre part, le calcul d'un idéal torique homogène Q (contenu dans I). Tout cela est rendu concret, grâce à un algorithme efficace, permettant de déterminer I et Q. Le calcul de l'idéal torique homogène Q contribue fondamentalement au calcul de I. Notre approche réside dans le fait d'avoir étudié l'idéal canonique I par l'intermédiaire du polytope entier de dimension 2, enveloppe convexe de l'ensemble: {(i,j)in N^2 | ai+bj <= 2g-2} où g désigne le genre de la courbe. Ce polytope permet la détermination d'une base de Groebner quadratique de Q; son intérieur, le calcul d'un système de générateurs de I/Q. Cette approche se veut effective et les résultats les plus importants sont accompagnés d'une implémentation en magma.