Métrique sur le fibré unitaire tangent au plan hyperbolique

Toute variété différentiable M admet une métrique dite métrique riemannienne.\\ En définissant H={z∈C:Im(z)>0}, on peut munir de H d'une métrique riemannienne ds2=dzdz¯/(Im(z))2=dx2+dy2/y2.\\ Muni de cette métrique, H est une variété riemannienne à la quelle on associe le fibré tangent, TH ainsi que le fibré unitaire tangent, T1H. Les éléments de T1H peuvent être exprimés, de façon bijective, en termes des éléments du groupe PSL(2,R) dont l'action sur T1H est transitive et libre.\\ La métrique définie sur M (en particulier sur M=H) permet de définir sur TM (en particulier sur T1H) une métrique connue sous le nom de métrique de Sasaki